МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

РЕФЕРАТ
роботи на здобуття 
премії Президента України

ЕЛІПТИЧНІ ТА СЛАБКО КОЕРЦИТИВНІ СИСТЕМИ МІНІМАЛЬНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ОПЕРАТОРІВ У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 

Лиманський Дмитро Володимирович

кандидат фізико-математичних наук, доцент,
доцент  кафедри диференціальних рівнянь,
в.о. завідувача кафедри диференціальних рівнянь
Донецького національного університету

Донецьк – 2012

ЗАГАЛЬНА  ХАРАКТЕРИСТИКА  РОБОТИ

Актуальність теми. У роботі розглядаються задачі про опис просторів  мінімальних диференціальних операторів , підпорядкованих фіксованій системі інших мінімальних диференціальних операторів  у просторах , де ,  — область у .Систематичне вивчення просторів підпорядкованих операторів було започатковано Л. Хермандером у 50-ті роки XX ст. Він вичерпно розв’язав згадану задачу у випадку , простору  (для обмеженої області ) і системи операторів із сталими коефіцієнтами, а його результати були поширені на випадок системи операторів () М.М. Маламудом, В.П. Ільїним, Боманом, К. Смітом, В.П. Михайловим та ін. 
Одним з найбільш важливих напрямків у теорії мінімальних диференціальних операторів є одержання умов коерцитивності системи диференціальних поліномів  у просторах Соболєва  при . Початок досліджень з цієї проблеми було покладено Ароншайном, а його результати одержали подальший розвиток у роботах Агмона, Хермандера, Нечаса, Міхліна та ін. Одержання оцінок у  при  ґрунтується на застосуванні теореми Міхліна – Лізоркіна про мультиплікатори у випадку сталих коефіцієнтів. Перехід до дослідження умов коерцитивності в  та  потребує інших, ніж для , методів. Зокрема, ефективні достатні умови для мультиплікаторів у  та  отримано Бєлінським, Двейріним та Маламудом. Випадкам  та  окремо присвячено низку робіт (Мітягіна, Юдовича, Орнстейна, де Лю та Міркіла, Маламуда та інших). Виявилося, що отриманий М.М. Маламудом критерій коерцитивності системи  у просторі , на відміну від критерію коерцитивності у  для , не пов’язаний із поняттям –квазіеліптичності цієї системи. Тому залишалося відкритим питання про характеристику -квазіеліптичної системи  у термінах її “сили” відносно рівномірної норми, тобто у просторах . Задля цього автором та М.М. Маламудом було введено поняття слабкої коерцитивності системи  у просторах , яке узагальнює поняття коерцитивності.
Де Лю та Міркіл довели критерій слабкої коерцитивності для диференціального полінома  у ізотропних просторах  при . Там же наведено приклад, що належить Мальгранжу, слабко коерцитивного у , але не еліптичного оператора. Для випадку системи операторів () зі змінними коефіцієнтами М.М. Маламудом отримані лише достатні умови слабкої коерцитивності при . Необхідність цих умов не розглядалася. Застосування - оцінок до дослідження гладкості розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними було розглянуто Л.Р. Волевичем та С.Г. Гіндікіним.
Метою роботи є дослідження апріорних оцінок для систем мінімальних диференціальних операторів у ізотропних та анізотропних просторах Соболєва. 
Наукова новизна одержаних результатів. У роботі одержані такі основні нові результати. Знайдено необхідні умови слабкої коерцитивності систем мінімальних диференціальних операторів  порядку  у просторах Соболєва . Вперше знайдений аналог теореми де Лю та Міркіла для операторів зі змінними коефіцієнтами. Вперше дано повний опис слабко коерцитивних у  диференціальних поліномів від двох змінних. Побудовано широкі класи слабко коерцитивних в , але не еліптичних систем зі сталими коефіцієнтами. Вперше описаний простір мінімальних диференціальних поліномів, підпорядкованих в  – нормі тензорному добуткові двох еліптичних диференціальних операторів. 
Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер, а її методи знаходять застосування у загальній теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, у теорії просторів Соболєва, а також у теорії сингулярних інтегральних операторів.
Структура роботи. Роботу представлено у вигляді наукової праці, яка сформована за опублікованими матеріалами, викладено на 70 сторінках машинописного тексту. Структурно робота складається з семи розділів, основних висновків та списку використаних літературних джерел (37 найменувань).
Публікації. Автором опубліковано 59 наукових робіт, в тому числі 9 статей у фахових наукових виданнях України та 7 статей у провідних міжнародних журналах, які реферуються у базі даних SCOPUS. Зокрема, за темою наукової праці, що подається на конкурс, опубліковано 16 наукових робіт, у тому числі 2 статті у фахових наукових виданнях України та 4 статті у провідних міжнародних виданнях, які реферуються у базі даних SCOPUS: “Доклады Академии наук” (“Doklady Mathematics”), IF=0,204; “Математические заметки” (“Mathematical Notes”), IF= 0,344;. “Математический сборник” (Sbornik Mathematics), IF=0,535; “Russian Journal of Mathematical Physics”, IF=1,131.

Основний зміст роботи

Усі теореми та формули у рефераті наводяться під тими номерами, які вони мають у тексті роботи.
У першому розділі (вступі) подається стислий огляд результатів, які мають відношення до теми роботи. У ньому також сформульовано базові означення та твердження, на яких ґрунтуються доведення основних результатів наступних розділів. Наведемо найважливіші з них. 
Нехай  — область в , , ,  — система диференціальних операторів з вимірними коефіцієнтами вигляду
                       ,             .                        (1.1)
Позначимо через  головну частину оператора , а через  — його головний символ. Тут , , , , , . 
Означення 1.1. Система диференціальних операторів  вигляду (1.1) називається  – квазіеліптичною, якщо  при , і, зокрема, еліптичною порядку , якщо . 
Означення 1.2, 1.4. Система диференціальних операторів  вигляду (1.1) називається коерцитивною в (анізотропному) просторі Соболєва , , якщо справджується апріорна оцінка
            ,         ,     (1.2)
та слабко коерцитивною у тому ж просторі, якщо справджується більш слабка оцінка з нерівністю  замість  у лівій частині (1.2) під знаком суми, зі сталими , що не залежать від вибору . У випадку ізотропного простору () нерівність  набуває вигляду . 
Теорема 1.5 (де Лю та Міркіла). При  еліптичність диференціального полінома  порядку  еквівалентна його слабкій коерцитивності в ізотропному просторі . 
Умова  в теоремі 1.5 є істотною. Так, Мальгранж навів приклад слабко коерцитивного у  нееліптичного оператора . 
Позначимо через  лінійний простір мінімальних диференціальних поліномів , підпорядкованих системі операторів  у просторах , тобто простір операторів , що задовольняють апріорну оцінку
,              ,
зі сталими  , що не залежать від вибору . 
У другому розділі наведені необхідні поняття, означення та допоміжні твердження, використані для доведення основних результатів. Зокрема, наводяться деякі класичні твердження щодо -квазіеліптичних операторів та систем, апріорних оцінок в , формулюються властивості просторів мультиплікаторів у , низка понять гармонічного аналізу та деякі топологічні результати (теорема Борсука — Улама, теорема Борсука про степінь відображення тощо). 
Третій розділ присвячений властивостям еліптичних та -квазіеліп-тичних систем, а також їх характеризації за допомогою апріорних оцінок. 
Наступна теорема дає повний опис тих векторів , що для них існують -квазіеліптичні системи. 
Теорема 3.1. Нехай  та . Тоді для існування -квазіеліптичних систем  необхідно і достатньо, щоб серед чисел  було не більше  непарних. 
Доведення теореми ґрунтується на застосуванні топологічної теореми Борсука — Улама. У роботі наведено приклад, що у випадку  теорема 3.1 не є вірною. Теорема має два важливих наслідки.
Наслідок 3.2. Якщо , то  - квазіеліптичні оператори існують тоді і лише тоді, коли серед чисел  не більше одного непарного.
Наслідок 3.3. Якщо система  порядку  еліптична та  , то  — парне число. 
Останнє твердження є аналогом відомого результату Я.Б. Лопатинського для еліптичних операторів зі сталими коефіцієнтами. 
У наступному твердженні дано характеристику еліптичних систем у класі всіх слабко коерцитивних систем у ,  зі сталими коефіцієнтами в їх головних частинах. 
Твердження 3.8. Нехай  — система диференціальних операторів порядку , , головні частини яких мають сталі коефіцієнти, тобто , і  при ,  та . Тоді система  еліптична тоді і лише тоді, коли для кожного з деякою сталою  справджується оцінка: 
                                   .
Критерій зберігає силу при , якщо коефіцієнти операторів ,  сталі. 
Наступні результати розділу присвячені системам операторів  головного типу в  за Хермандером: це такі системи, що для них простір  не змінюється при збуренні операторів  членами молодшого порядку. Зокрема, еліптичні та слабко коерцитивні в  системи є системами головного типу. У роботі доведено, що якщо головні частини операторів  задовольняють умови твердження 1.8, то еліптичність системи  еквівалентна тому, що вона є системою головного типу в  при , а у випадку операторів зі сталими коефіцієнтами —  і при  (твердження 3.11). Крім того, отримано узагальнення критерію Хермандера для систем головного типу у , де  — обмежена область в (твердження 3.12).
У четвертому розділі вивчаються властивості слабко коерцитивних систем  у ізотропних просторах , . Тут доведено низку тверджень, що мають істотне значення для подальших досліджень у цій галузі. 
Твердження 4.1. Нехай  — система операторів порядку , , коефіцієнти головних частин яких є сталими, , та  при , . Нехай також система є слабко коерцитивною в ізотропному просторі , . Тоді:
(i) якщо коефіцієнти операторів  неперервні, то при кожному фіксованому  множина нулів  системи поліномів  є компактною;
(ii) система  залишається слабко коерцитивною в  при збуренні операторів  членами порядку  з коефіцієнтами з ;
(iii) нехай  — нуль відображення , тобто , . Якщо , то ранг матриці Якобі відображення  у точці  менше ;
(iv) нехай додатково  при . Якщо , ,  та  — нуль полінома , то . Зокрема, при  нулі полінома  є простими.
Доведення пункту (iii) твердження 4.1 має топологічний характер та спирається на деякі результати теорії степеня відображення. 
Доведення наступного результату також апелює до топологічних методів.
Теорема 4.3. Нехай система  порядку  є слабко коерцитивною в ізотропному просторі Соболєва , , та . Якщо відображення  має скінченну кількість нулів на одиничній сфері , то  — парне число. 
Цей результат є аналогом теореми 3.1 для слабко коерцитивних систем зі сталими коефіцієнтами. Умова  в теоремі 4.3 є точною: при  система ,  є еліптичною для будь-якого . 
У наступній теоремі отримано критерій слабкої коерцитивності системи  у ізотропному просторі Соболєва . 
Теорема 4.9. Нехай  — система операторів порядку , що задовольняє наступні вимоги:
1)	;
2)	 поліноми , звужені на будь-який двовимірний підпростір простору , є лінійно незалежними.
Тоді система  є слабко коерцитивною у ізотропному просторі  тоді і лише тоді, коли вона еліптична. 
Теорема 4.9 є аналогом теореми де Лю і Міркіла та співпадає з останньою при . Доведення теореми 4.9 ґрунтується на застосуванні методів гармонічного аналізу (перетворення Фур’є та скінчених борелівських мір). У роботі на прикладах показано, що умова 2) теореми 4.9 є істотною. 
Нарешті, використовуючи аналітичну та топологічну техніку, зазначену вище, у роботі сформульовано та доведено наступне узагальнення теореми де Лю та Міркіла для операторів зі змінними коефіцієнтами.
Теорема 4.11. Нехай ,  — диференціальний оператор порядку , у якому  при ,  при  та  при , тобто . 
Тоді оператор  є слабко коерцитивним в ізотропному просторі Соболєва  тоді і лише тоді, коли він еліптичний. 
Основним результатом п’ятого розділу є наступна теорема, яка узагальнює приклад Мальгранжа слабко коерцитивного у ізотропному просторі  нееліптичного оператора  та дає повний опис усіх таких операторів довільного порядку від двох змінних. 
Теорема 5.1. Оператор  порядку  є слабко коерцитивним у ізотропному просторі  тоді і лише тоді, коли він має вигляд: 
                                 ,                                  (5.1)
де   — еліптичний оператор порядку ,  — оператор порядку , ,  — попарно неколінеарні вектори, , .
Теорема 5.1 дає також змогу описати простір операторів, підпорядкованих у  –  нормі оператору вигляду (5.1), а також встановити, що добуток еліптичного та слабко коерцитивного операторів від двох змінних є оператором, слабко коерцитивним у відповідному ізотропному просторі. 
Зауважимо, що теорема 5.1 разом з твердженням 4.1 показують, що будь-який гіперболічний оператор порядку  від двох змінних після відповідного збурення його оператором порядку  стає слабко коерцитивним у . Збуреннями порядку  досягти цього, взагалі кажучи, неможливо. 
Наступна теорема також є наслідком теореми 5.1. Вона дає алгебраїчний критерій слабкої коерцитивності у просторі . 
Теорема 5.4. Нехай — оператор порядку , а всі коефіцієнти та корені полінома є дійсними. Тоді  є слабко коерцитивним у ізотропному просторі  тоді і лише тоді, коли поліноми  та  не мають спільних нетривіальних дійсних нулів. 
За допомогою результанта  поліномів  та  умова теореми 5.4 може бути записана у вигляді , . Тому її перевірка не вимагає знання коренів полінома . 
Шостий розділ присвячений опису широких класів слабко коерцитивних у ізотропних просторах , , але не еліптичних систем операторів  зі сталими коефіцієнтами. Має місце наступна
Теорема 6.2. Нехай  — еліптична система порядку  та , . Тоді нееліптична система операторів , , , , є слабко коерцитивною в ізотропних просторах , . 
Під час доведення теореми 6.2 були побудовані нові, несиметричні та нетрадиційні для еліптичної теорії мультиплікатори. Наприклад, якщо  — еліптичний поліном порядку , то  є мультиплікатором в  при , якщо , . Тут  — “зрізаюча” функція класу , , що дорівнює нулю в околі початку координат та одиниці в околі нескінченності.
Число операторів  у теоремі 6.2 при  не можна зменшити навіть у випадку : було показано (твердження 6.4), що якщо  та  — еліптичний оператор порядку , то система  після вилучення з неї будь-якого з операторів перестає бути слабко коерцитивною у . 
Останній, сьомий розділ, присвячено розв’язанню задачі про опис лінійного простору  диференціальних операторів, підпорядкованих у  – нормі тензорному добуткові  двох еліптичних операторів, що діють за різними змінними, тобто оператору  вигляду:
                                     .                   (7.1)
Спочатку розглянуто випадок, коли символі операторів  та є невиродженими, тобто не мають дійсних нулів. У цьому випадку має місце наступна 
Теорема 7.1. Нехай  та  — еліптичні поліноми степенів  та  відповідно, причому  та  для будь-яких , , . Тоді
. 
Іншими словами, у теоремі 7.1 стверджується, що простір  у випадку операторів  та  з невиродженими символами є тензорним добутком просторів  та . Цей результат повністю співпадає з результатом Хермандера для тензорного добутку двох довільних диференціальних поліномів у  – нормі, де  — обмежена область в . 
Умова невиродженості символів у теоремі 7.1 є істотною. Так, якщо оператори  та еліптичні та однорідні (тобто не мають молодших членів), то простір  є мінімально можливим, тобто . Справедлива 
Теорема 7.5. Нехай  — диференціальний оператор вигляду (7.1) та ,  — однорідні еліптичні оператори порядків  та  відповідно. Тоді простір є мінімально можливим, тобто включення еквівалентне рівності , . 
Доведення теорем 7.1 та 7.5 ґрунтуються на твердженнях з гармонічного аналізу (властивостях перетворення Фур’є та скінченних борелівських мір). 

ВИСНОВКИ

У роботі вивчені властивості еліптичних, квазіеліптичних та слабко коерцитивних систем мінімальних диференціальних операторів у ізотропних та анізотропних просторах Соболєва , а також розглянуто задачу про опис просторів  мінімальних диференціальних операторів, підпорядкованих системі інших мінімальних операторів  в  – нормі, де ,  — область в . Усі результати, що отримані, є новими та істотно посилюють вже відомі твердження, а саме:
1. Знайдено необхідні та достатні умови теоретико-числового характеру на компоненти вектора , при виконанні яких існують -квазіеліптичні системи  у випадку, якщо . На прикладі показано точність цих умов. Цей результат узагальнює відому теорему Лопатинського для еліптичних операторів. 
2. Теорему де Лю та Міркіла про еквівалентність еліптичності та слабкої коерцитивності у  оператора зі сталими коефіцієнтами при  поширено на випадок системи операторів  зі сталими коефіцієнтами, а також оператора  зі змінними коефіцієнтами. Для доведення останнього результату було використано новий метод, що базуються на топологічних міркуваннях (зокрема, теорії степеня відображення). 
3. Отримано низку нових властивостей слабко коерцитивних систем операторів  у ізотропних просторах Соболєва . Зокрема, досліджено питання про те, за яких умов існують слабко коерцитивні ізотропні системи. Залучаючи теорему Борсука та теорію степеня відображення, було показано, що за деяких обмежень слабко коерцитивна система  має парний порядок. 
4. Узагальненням прикладу Мальгранжа слабко коерцитивного у  нееліптичного оператора від двох змінних є теорема, що дає повний опис усіх таких операторів. Крім того, побудовано широкі класи нееліптичних слабко коерцитивних у ізотропному просторі  систем операторів . При цьому було знайдено нові несиметричні та нетрадиційні для еліптичної теорії види мультиплікаторів в , . 
5. Нарешті, у роботі отримано низку результатів щодо опису простору  операторів, підпорядкованих у  – нормі тензорному добуткові  двох еліптичних операторів, що діють за різними групами змінних. Виявилося, що структура простору  істотно залежить від наявності молодших членів у запису множників  та .