Офіційний веб сайт

Цикл наукових праць "Тополого-комбінаторні дослідження у теорії напівгруп"

М45

Автори: Гаврилків В.М., Павлик К.П., Равський О.В.

Представлений Інститутом прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України.

Кількість публікацій: 54 наукові публікації, в т.ч. 24 статті, 30 тез доповідей.

Загальний індекс цитування робіт претендентів: 101.

Роботи циклу присвячено ви­вченню (право)топологічних напівгруп (зокрема, напівгруп гіперпросторів включення та суперрозширень на дискретних напівгрупах і групах, топологічних напівгруп матричних одиниць, топологічних -розширень Брандта топологічних напівгруп, розширень Брака-Рейлі та паратопологічних груп), їх будови та неперервності алгебраїчних операцій, а також застосуванню отриманих результатів в інших розділах математики, зокрема, в ком­бі­наториці.

Методами комбінаторної теорії груп отримано відповідь на проблему, відому з середини 80-х років, про можливість послаблення топології паратопологічної групи до групової топології. Вирішено ряд задач з топологічної алгеб­ри , узагаль­нено деякі відомі теореми.

Розв’язано проблему Лoyсона-Медісона про топологічний аналог фактор-напівгрупи Ріса для випадку Н-замкненого ідеалу. Доведення того, що жодна непорожня компактна опукла підмножина простору Rn не може бути розбита на дві конгруентні ча­сти­ни, узагальнює факт, доведений Хадвігером та Дебруннером для пло­щи­ни. Зроблено значний крок до розв’язання деяких відомих проблем комбі­на­то­ри­ки, зокрема, проблеми Овінґса про існування нескінченної одноколірної множини виду у довільному двоколірному розфарбуванні натурального ряду.

За допомогою максимальних зчеплених систем і са­мозачеплених множин у гру­пах доведено новий важливий ком­бі­на­торний факт.

Надіслати коментар

Коментарі

питання до авторів

А чи завантажував хтось реферат цієї роботи? Він чомусь не читабельний. Технічні проблеми?

Гість

В меню Вид - Розмітка зняти.

питання до авторів

Дуже дякую, значно краще.

Ігор Володимирович Протасов

Публікації з тополого-алгебраїчної частини даного циклу праць, присвячені, в основному, систематичному дослідженню властивостей паратопологічних та напівтопологічних груп, зокрема, умов, за яких операції множення і інверсії на таких групах є неперервними, взаємозв’язків між груповими та напівгруповими топологіями на групі, H-замкнених паратопологічних груп та кардинальних інваріантів груп, наділених топологією.

У роботах циклу також досліджується структура топологічних напівгруп матричних одиниць. Доведено, що нескінченна топологічна напівгрупа матричних одиниць не занурюється в компактну топологічну напівгрупу, є алгебраїчно h-замкненою в класі топологічних інверсних напівгруп та описано її компактифікації Бора. Введено поняття топологічного λ-розширення Брандта топологічної напівгрупи для довільного ненульового кардинала λ та побудовано топологічні λ-розширення Брандта топологічних напівгруп, які зберігають H-замкненість та абсолютну H-замкненість в класі топологічних напівгруп. Використовуючи поняття топологічного λ-розширення Брандта топологічної напівгрупи, побудовано приклад зліченної абсолютно H-замкненої інверсної топологічної напівгрупи S з абсолютно H-замкненим ідеалом І такими, що фактор-напівгрупа Ріса S/I не є топологічною напівгрупою.

Роботи В.М. Гаврилківа присвячені продовженню асоціативної бінарної операції, заданої на дискретному топологічному просторі S, на простір G(S) всіх гіперпросторів включення на S, описанню деяких важливих піднапівгруп напівгрупи G(S), а також вивченню алгебраїчних та алгебро-топологічних властивостей одержаних напівгруп. Зокрема, ним описано мінімальні (ліві) ідеали, топологічні та алгебраїчні центри, скоротні справа (зліва) елементи, праві (ліві) нулі, комутативність напівгруп гіперпросторів включення та максимальних зчеплених систем. Доведено топологічну ізоморфність мінімальних (лівих) ідеалів напівгруп λ(Z) та λ(Z2), де Z2 - група цілих двоадичних чисел.
У працях В.М. Гаврилківа запроваджено ряд нових термінів, зокрема “самозачеплена множина” в групі, “непарна група”, які, на мою думку, є дуже вдалими і мають увійти в математичний ужиток. Ним вивчено самозачеплені множини в групах і обчислено їх мінімальну потужність для деяких груп. З допомогою максимальних зчеплених систем доведено наступний важливий комбінаторний факт: якщо непарну групу G розбити на дві частини G=A B, то G=AA-1 або G=BB-1. Відомий американський математик N. Hindman, котрий реферував статті В.М. Гаврилківа в Math. Review, включив деякі результати в свій недавній огляд ”Algebra in the space of ultrafilters and Ramsey Theory” і дуже позитивно оцінив отримані Гаврилківим результати.

Роботу виконано на високому науковому рівні. Одержано низку важливих результатів у галузі топологічної алгебри. Необхідно зауважити, що дана тематика досі не є вичерпаною і автори, представлені на здобуття премії, і зараз плідно працюють над аналізом та розробкою більш досконалих методів дослідження топологічних напівгруп та активно публікують нові результати.

Вважаю, що представлені в циклі результати є новими, цікавими та актуальними, а його автори заслуговують присудження їм Премії Президента України для молодих вчених.

Д. ф-м. наук,
пров. н.с.,
проф. кафедри дослідження операцій
Київського національного університету ім. Т.Г. Шевченка
Протасов Ігор Володимирович

Михайло Михайлович Зарічний

Цикл наукових праць В.М. Гаврилківа, О.В. Равського і К.П. Павлик “Тополого-комбінаторні дослідження у теорї напівгруп” присвячений дослідженню топологічних напівгруп (зокрема паратопологічних груп), їх будови та неперервності алгебраїчних операцій, алгебро-топологічної структури суперрозширень груп, а також окремим задачам комбінаторики та комбінаторної геометрії.

Публікації з тополого-алгебраїчної частини даного циклу праць, присвячені систематичному дослідженню властивостей паратопологічних та напівтопологічних груп, зокрема, умов, за яких операції множення і інверсії на таких групах є неперервними, взаємозв’язків між груповими та напівгруповими топологіями на групі, H-замкнених паратопологічних груп та кардинальних інваріантів груп, наділених топологією. Так, О.В. Равський розв’язав проблеми, поставлені відомими спеціалістами з топологічної алгебри (наприклад, І. Гураном, Г.-П. Кюнці, Є. Рєзніченком, М. Санчісом) та отримав узагаль¬нен¬ня відомих теорем (зокрема, результатів Р. Елліса). Дослідження К.П. Павлик присвячені класичним задачам топологічної алгебри: топологізації алгебраїчних об’єктів, дослідженню впливу алгебраїчних властивостей на топологічні та топологічних на алгебраїчні, зануренню одних об’єктів у інші, а також описанню будови певних класів тополого-алгебраїчних об’єктів. Зокрема, К.П. Павлик доводить, що довільне нетривіальне розширення Брандта абсолютно H-замкненої в класі топологічних інверсних напівгруп топологічно інверсної напівгрупи є абсолютно H-замкненою в цьому класі, що є кроком до розв’язання питання, відкритого ще з початку минулого століття, про критерій H-замкненості топологічних напівгруп. В.М. Гаврилків визначає і досліджує новий тополого-алгебраїчний об’єкт – гіперпростір включень в \beta S, що у випадку дискретної напівгрупи має природну структуру компактної право-топологічної напівгрупи. Мотивацією та базою таких досліджень є \beta-Алгебра, тобто алгебра в Чех-Стоуновській компактифікації дискретної напівгрупи, що має вражаючі комбінаторні та тополого-алгебраїчні застосування.

Задачі, узагальнення та розв’язання яких наведені в публікаціях з комбінаторної частини даного циклу праць, викликали інтерес у багатьох авторів. Наприклад, продовжуючи тематику В. Маслюченка та його колег, доведено, що кожна відкрита непорожня підмножина m-вимірного простору R^m, m>1 може бути розбитою на n гомеоморфних частин, якщо n>2m+1. О.В. Равським, частково з використанням комп’ютерного перебору, були розв’язані окремі задачі комбінаторики слів. Ним визначена нова міра асиметрії бінарного слова та отри¬мані верхня та нижня оцінки цієї міри, що дало відповідь на одне запитання І. Протасова. Також О.В. Равським знайдене точне значення мінімального числа K(n) такого, що кожне бінарне слово довжини n може бути розбите на K(n) паліндромів, та отримана оцінка середньої кількості паліндромів, на які можна розбити випадкове бінарне слово довжини n.

У даному циклі робіт авторами отримано глибокі результати у галузях топологічної алгебри, комбінаторики та комбінаторної геометрії. Також слід відзначити актуальність проведених досліджень, їх високий професійний рівень та отримане міжнародне визнання.
Враховуючи вагомість отриманих наукових результатів, та рівень публікацій, вважаю, що автори циклу наукових праць В.М. Гаврилків, К.П. Павлик і О.В. Равський заслуговують присудження щорічної премії Президента України для молодих вчених.

Декан механіко-математичного факультету
Львівського національного університету
імені Івана Франка,
зав. кафедри геометрії i топології,
д.ф-м.наук, проф. Зарічний Михайло Михайлович

Б.В.Новиков

ОТЗЫВ
о цикле научных трудов
“Тополого-комбинаторные исследования в теории полугрупп”

Цикл научно-исследовательских работ В.М. Гаврилкива, Е.Ф. Павлык и А.В. Равского посвящен исследованию проблем, находящихся на границе топологии и алгебры (в основном, теории полугрупп и групп).

Часть цикла относится к исследованию паратопологических групп, которые изучаются уже достаточно давно, однако целостная теория этих объектов не построена до сих пор. Поэтому актуальной является попытка развития основ такой теории, сделанная в работах цикла. Одним из интересных аспектов в этом направлении является вопрос о Н-замкнутости топологических групп. Мотив Н-замкнутости присутствует и в других работах циклах, относящихся к топологическим полугруппам. Здесь заслуживает внимания конструкция топологического -расширения Брандта, которое не только обладает нужными свойствами сохранения Н-замкнутости, но и является источником информативных примеров. Интересным является также новый метод, предложенный в данном проекте – применение полугруппы максимальных сцепленных систем к решению тех задач комбинаторики чисел, где метод ультрафильтров не действует.

Учитывая научную ценность, новизну и уровень результатов исследований, считаю, что авторы цикла В.М. Гаврилкив, Е.Ф. Павлык и А.В. Равский заслуживают присуждения им ежегодной премии Президента Украины для молодых ученых.

Д. ф.-м. наук, проф. кафедры теории функций и функционального анализа
Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина
Б.В. Новиков

Максименко С.І.

Цикл наукових праць “Тополого-комбінаторні дослідження у теорії напівгруп” В.М. Гаврилківа, К.П. Павлик і О.В. Равського присвячений вивченню напівгруп, наділених топологією і, зокрема, застосуванню отриманих результатів в комбінаториці.
О.В. Равським, переважно, досліджувалися різноманітні властивості паратопологічних груп: необхідні або достатні умови, за яких взяття оберненого елемента є неперервним, різні умови “повноти”, значення кардинальних інваріантів та інші. В результаті цих досліджень ним отримано відповіді на ряд питань, сформульованих відомими спеціалістами з топологічної алгебри. У працях О.В. Равського з комбінаторної геометрії та комбінаторики слів узагальнено та розв’язано ряд проблем. Зокрема, узагальнено результат Хадвігера та Дебруннера для площини, а саме, показано, що жодна непорожня компактна опукла підмножина простору не може бути розбита на дві конгруентні частини.
До основних проблем теорії топологічних напівгруп можна віднести проблему занурення топологічної напівгрупи у компактну топологічну напівгрупу або в напівгрупу з деякого ширшого класу, проблему топологізації нескінченних напівгруп матричних одиниць та вивчення збереження Н-замкненості і абсолютної Н-замкненості у топологічних розширеннях Брандта топологічних напівгруп. Саме ці задачі і є об’єктами досліджень К.П. Павлик.
Я давно знайомий з роботами В.М. Гаврилківа і вони на мене справили неабияке враження. В своїх роботах він досліджує алгебро-топологічну структуру суперрозширень груп і напівгруп гіперпросторів включення та застосування максимальних зчеплених систем в комбінаториці чисел. Аналогічними дослідженням проблем комбінаторики з допомогою ультрафільтрів займаються такі всесвітньо відомі математики як І. Протасов (Україна), Є. Зеленюк (Україна-ПАР), Н. Гайдмен (США), Д. Штраус (Англія), С. Феррі (Італія-Великобританія-Колумбія) та багато інших. В.М. Гаврилківим описано нулі, скоротні елементи, мінімальні (ліві) ідеали, умови комутативності та топологічні і алгебраїчні центри напівгруп максимальних зчеплених систем і гіперпросторів включення. Також ним доведено, що позитивна відповідь на проблему Овінґса рівносильна існуванню спеціального типу максимальних зчеплених систем.
У циклі робіт досліджуються проблеми котрі виникають на перетині алгебри і топології та мають важливе значення як для обох цих наук, так і для інших математичних дисциплін, де природно виникають топологічні напівгрупи, зокрема в теорії груп Лі, диференціальній геометрії, функціональному аналізі. Тому тематика циклу є актуальною. Враховуючи вагомість і перспективність результатів та методів досліджень, вважаю, що цикл наукових праць В.М. Гаврилківа, К.П. Павлик і О.В. Равського заслуговує присудження щорічної премії Президента України для молодих учених.

Старший науковий співробітник відділу топології
Інституту математики НАН України
Максименко Сергій Іванович

Гість

The project under review focuses on the interplay between topology and various algebraic structures living on the same set. The results obtained within this project are of high scientific level and solve a number of important problems in topological algebra. In particular, Ravsky constructed non -precompact paratopological groups with the Suslin condition; paratopological non-topological groups with non-empty hereditary left precompact set; Bair paratopological groups with zero-dimensional Hausdorff topology which cannot be weakened to a Hausdorff group topology. The first and the third of mentioned counterexamples answer the questions formulated by Guran at the Tyraspol Symposium, and the second – the Künzi, Romaguera and Sipachova question. Pavlyk solved Lawson-Madison problem regarding the topological analogue of Rees factor-semigroup for the H-closed ideal case. Havrylkiv worked on the Protasov hypothesis about the application of maximal linked systems to combinatorial problems for which ultrafilters are known to be not sufficient. His investigations of algebraic structures on the superextensions and on the spaces of inclusion hyperspaces illuminate some well-known combinatorial problems including the Owings one.
The project is based on papers with sufficiently high citation index. Moreover, they are cited by leading specialists in topological algebra, affirming the weight and actuality of the results. I am deeply impressed with the overall quality of the experimental work as well as with the remarkable theoretical background of this research. Therefore I recommend that this project be supported in the strongest possible terms.

Lyubomyr Zdomskyy,
postdoctoral researcher,
Kurt Gödel Research Center for Mathematical Logic,
Universität Wien, Austria

Сипачёва Ольга Викторовна

В.М. Гаврилкив, Е.Ф. Павлык и А.В. Равский в цикле работ «Тополого-комбинаторные исследования в теории полугрупп» исследуют свойства разнообразных полугрупп, наделенных топологией, например, их структуру, непрерывность алгебраических операций, зависимости между этими операциями и свойствами топологического пространства полугрупп. Основное внимание при этом уделено полугруппам гиперпространств включения и максимальных сцепленных систем на дискретных полугруппах и группах (В.М. Гаврилкив), полугруппам матричных единиц и λ-расширений Брандта топологических полугрупп (Е.Ф. Павлик) и паратопологическим и полутопологическим группам (А.В. Равский). Некоторые из полученных результатов находят также применение и вне топологической алгебры, например, в комбинаторике.
Я давно знакома с А. В. Равским. Среди исследуемых ним свойств паратопологических групп: условия непрерывности инверсии, возможность ослабления полугрупповой топологии до групповой, кардинальные инварианты, Н-замкнутость, структура свободных паратопологических групп. Результаты А.В. Равского способствуют прояснению природы и взаимосвязи этих свойств. Например, как обобщение теоремы Эллиса показано, что каждая локально компактная паратопологическая группа является топологической группой, при предположении аксиомы Мартина построен пример хаусдорфовой счетно компактной паратопологической группы, которая не является топологической группой. А.В. Равским показано, что произвольная хаусдорфова кольцевая SІN-топология на теле может быть ослаблена до хаусдорфовой теловой SІN-топологии, и, в качестве ответа на проблему Гурана середины 80-х годов, построена паратопологическая нульмерная группа, топология которой не может быть ослаблена до хаусдорфовой групповой топологии. Найден критерий H-замкнутости абелевых топологических групп в классе паратопологических групп. Построена бэровская тихоновская полутопологическая группа счетного характера, не являющаяся паратопологической группой. В работах А.В. Равского по комбинаторике и комбинаторной геометрии рассматриваются, обобщаются и решаются проблемы, вызывавшие интерес известных математиков, таких как В. Маслюченко, И. Протасов, Г. Штейнгауз. Например, показано, что для про¬извольного бесконечного кардинала α и произвольного разбиения полугруппы отображений αα на α частей существует элемент разбиения, левый сдвиг которого совпадает со всей полугруппой.
Е.Ф. Павлык получено описание всех компактных и псевдокомпактных топологий на бесконечной полугруппе матричных единиц, которые превращают ее в полутопологическую полугруппу. Ею сделан еще один шаг в сторону отыскания критериев Н-замкнутости в классах топологических полугрупп, а именно, введено понятие топологического λ-расширения Брандта топологических полугрупп и доказано, что топологическая инверсная полугруппа Н-замкнута в классе топологических инверсных полугрупп тогда и только тогда, когда Н-замкнуто ее топологическое λ-расширение. Вопрос о том, когда фактор-полугруппа Риса топологической полугруппы по замкнутому идеалу является топологической полугруппой, рассматривался многими специалистами в теории то¬пологических полугрупп. Е. Ф. Павлык, с помощью λ-расширения Брандта, построена счетная абсолютно H-замкнутая 0-измеримая метризуемая инверсная топологическая полугруппа S с абсолютно H-замкнутым идеалом I такие, что фактор-полугруппа Риса S/I не является топологической полугруппой.
Работы В.М. Гаврилкива посвящены изучению алгебраической структуры полугруппы G(X) гиперпространств включения и полугруппы λ(X) максимальных сцепленных систем полугруппы X. Аналогичные вопросы для полугруппы ультрафильтров β(X) (содержащейся как замкнутая подполугруппа в полугруппах G(X) и λ(X)) изучаются такими всемирно известными математиками как Н. Гайдмен (США), Е. Зеленюк (Украина–ЮАР), И. Протасов (Украина), Д. Штраус (Англия) и другие. В.М. Гаврилкивым описаны минимальные (левые) идеалы, топологические и алгебраические центры, сократимые справа (слева) элементы, правые (левые) нули и условия коммутативности полугрупп гиперпространств включения и максимальных сцепленных систем. Им доказан топологический изоморфизм минимальных (левых) идеалов полугрупп λ(Z) и λ(Z2), где Z2 – группа 2-адических целых чисел. С помощью введенного В. М. Гаврилкивым понятия «самосцепленное подмножество» им исследовались эти подмножества групп и алгебраическая структура суперрасширения. Им также доказан важный комбинаторный факт. Также В.М. Гаврилкив полностью описал структуры полугрупп гиперпространств включения G(X) и суперрасширения λ(X) для конечных групп X малых порядков.
Полученные в цикле работ результаты отвечают на вопросы или усиливают результаты известных специалистов. Они значимы для таких областей математики как алгебра, топологическая алгебра, комбинаторика и комбинаторная геометрия. С учетом уровня и актуальности результатов цикла, я полагаю, что его авторы В.М. Гаврилкив, Е.Ф. Павлык и А.В. Равский заслуживают присуждения им ежегодной премии Президента Украины для молодых ученых.

Ст.н.с. кафедры общей топологии и геометрии
механико-математического факультета
Московского государственного университета
им. М. В. Ломоносова
Сипачёва Ольга Викторовна